W tym artykule przedstawiono matematyczne podstawy, analizę, kalibrację i zastosowanie podejścia symulacyjnego inspirowanego uczeniem maszynowym do przewidywania wzorców pękania szkła termicznie hartowanego poprzez teselacje nad stochastycznymi procesami punktowymi.

Metoda ta nosi nazwę BREAK (Bayesian Reconstruction and Prediction of Glass Breakage Patterns Bayesowska Rekonstrukcja i Predykcja Wzorów Pękania Szkła) i umożliwia szybką symulację wzorców pękania szkła przy zachowaniu pewnych statystyk tego zjawiska.

(kliknij na zdjęcie aby je powiększyć)

Rys. 1. Wielkość fragmentów spękanego szkła hartowanego termicznie zależy od wielkości naprężeń wewnętrznych (wskazanie – wielkość dwuosiowego rozciągającego naprężenia wewnętrznego w płaszczyźnie środkowej) przy grubości płyty t = 12 mm, z [8]

Model opiera się na połączeniu kryterium energetycznego liniowej elastycznej mechaniki pękania (linear elastic fracture mechanics LEFM) i statystycznej analizy wzoru pękania szkła hartowanego w celu określenia cech wzoru fragmentacji (np. wielkość odłamków, intensywność pękania itp.) w polu obserwacji.

Modelowanie opiera się na założeniu, że ostateczny wzór pęknięcia jest teselacją Woronoja wynikającą z określonego stochastycznego procesu punktowego (stochastic point proces), którego parametry można wywnioskować na podstawie statystycznej oceny obrazów/wzorów kilku próbek pękniętego szkła.

Poprzez kalibrację stochastycznego procesu punktowego i następnie teselację obszaru zainteresowania można wygenerować próbki wzorców pęknięć o tym samy rozkładzie statycznym.

W niniejszym artykule pokazano zastosowanie tej metody dla różnych poziomów wstępnego naprężenia termicznego dla niektórych szkieł. Stwierdzono, że proponowana metoda jest lepsza od istniejących narzędzi – pod względem szybkości przetwarzania danych i dokładności statystycznej.

(kliknij na zdjęcie aby je powiększyć)

Rys. 2. Rozkład naprężeń w przekroju płyty ze szkła hartowanego (a) i krąg energii przed fragmentacją o promieniu r0 i po fragmentacji o promieniu r1, gdzie Aη jest powierzchnią strefy relaksacji energii (b), z [8]

^{1 Diagram Woronoja, tesselacja Woronoja lub komórki Woronoja (ang. Voronoi diagram) – podział płaszczyzny, nazwany tak na cześć twórcy Gieorgija Woronoja. W przypadku przestrzeni dwuwymiarowej, dla danego zbioru n punktów, dzieli się płaszczyznę na n obszarów, w taki sposób, że każdy punkt w dowolnym obszarze znajduje się bliżej określonego punktu ze zbioru n punktów, niż od pozostałych n-1 punktów
Teselacja (ang. tessellation) – dzielenie wygenerowanych podczas tworzenia obrazu 2D wielokątów na mniejsze elementy, dzięki czemu wyświetlany obiekt może być dokładniej odwzorowany. Podczas teselacji powstaje siatka wielokątów, która reprezentuje powierzchnię obiektu, a składa się ona najczęściej z najprostszych wielokątów, takich jak trójkąty (triangulacja) lub ich grupy. Stosowanie tesalacji oszczędza dużo pamięci i przepustowości, pozwalając aplikacji na tworzenie szczegółowych powierzchni z modeli o niskiej rozdzielczości, mechanizm ten jest często wykorzystywany w grafice komputerowej czasu rzeczywistego[1].}

1. Wprowadzenie, cel pracy i stan wiedzy
Analiza pękania szkła interesuje naukowców na całym świecie od dziesięcioleci, jednak pierwsze pionierskie prace w zakresie mechaniki pękania szkła zostały przeprowadzone przez Griffitha w 1920 roku [1].

W badaniach dotyczących fragmentacji/rozdrobnienia spękanych szkieł hartowanych udowodniono związki między stanem naprężeń wewnętrznych, grubością szkła i gęstością odłamków [2,3,4].

Na podstawie eksperymentów zaobserwowano, że gęstość odłamków oraz ich kształt (a tym samym cały układ spękania) zależy od gęstości zmagazynowanej energii odkształcenia sprężystego UD zależnej głównie od wielkości naprężeń wewnętrznych.

Na rys. 1 przedstawiono wzór spękania szkła hartowanego termicznie o różnych poziomach naprężeń wewnętrznych. Po obejrzeniu zdjęć można wywnioskować, że wielkość fragmentu wzrasta wraz ze zmniejszaniem się poziomu naprężeń wewnętrznych.

Szkło jest klasyfikowane jako materiał kruchy, więc jego wytrzymałość opisuje się za pomocą teorii liniowo- sprężystej mechaniki pękania opartej na pracach Griffitha [1]. Bazując na ustaleniach [10] – w przeciwieństwie do dotychczasowych badań nad zachowaniem się szkła hartowanego podczas fragmentacji [2,3,4] w tym artykule przedstawiono model stochastycznego procesu punktowego wykorzystujący Uczenie Maszynowe (Machine Learning) z towarzyszącą teselacją Woronoja/Voronoi1 do przewidywania fragmentacji szkła hartowanego termicznie.

Kluczowe części tego artykułu oparte są na wynikach przedstawionych w [8, 9, 10, 11, 12], można tam również znaleźć dalsze szczegóły dotyczące teoretycznych podstaw i wyprowadzenia wzorów oraz numerycznej implementacji tej metody. Dalsze aspekty metodologii przedstawionej w tym miejscu. Natomiast statystyki teselacji Woronoja w różnych modelach procesów punktowych, zostały opublikowane przez autorów w [8,10].

Rys. 3. Przykłady teselacji Woronoja przez wygenerowane punkty początkowe (a) procesu twardego rdzenia Straussa HCP z λ = 0,02 1/mm²; α = 0,8, α = 0,001, z [8].

2 Mechanika pękania – dział mechaniki ośrodków ciągłych z zakresu materiałoznawstwa i wytrzymałości materiałów zajmujący się badaniem zachowania się elementów i układów z karbem w warunkach obciążenia,
podaje ilościowe związki tego zachowania.
Pionierem mechaniki pękania był A.A. Griffith, który badając sposób w jaki niszczą się materiały sprężysto-kruche, w 1920 sformułował dwie fundamentalne zasady:
– powiększenie się rozmiaru szczeliny powoduje zwiększenie się powierzchni swobodnej w materiale, to z kolei wymaga pochłonięcia pewnej energii. Energia potrzebna do stworzenia jednostki powierzchni
materiału jest stałą materiałową.
– praca wykonana nad ciałem przez obciążenie zewnętrzne jest zamieniana na energię sprężystą gromadzoną wewnątrz ciała oraz rozpraszana na tworzenie nowych powierzchni (powiększanie szczelin).
Ze względu na sposób obciążenia elementu ze szczeliną, można wyróżnić trzy główne typy pękania (I, II, III). W praktyce rzadko kiedy występują one samodzielnie, więc częściej spotyka się modele mieszane np. I+II.
– typ I – czyste rozrywanie (otwieranie pęknięcia) – rozciąganie powierzchni szczelin w przeciwnych kierunkach, prostopadłych do płaszczyzny pęknięcia,
– typ II – ścinanie wzdłużne – powierzchnie szczeliny ślizgają się po sobie w wyniku działania ścinającego przyłożonego równolegle do płaszczyzny pęknięcia,
– typ III – ścinanie poprzeczne – powierzchnie szczeliny przesuwają się po sobie w równilegle do frontu szczeliny.

2. Teoretyczne podstawy pękania i geometrii stochastycznej
Wzór fragmentacji, tj. struktura spękania, wielkość odłamków szkła, a tym samym gęstość odłamków, są bezpośrednią konsekwencją wielkości energii odkształcenia początkowego U0, która jest „zmagazynowana” w szkle hartowanym przed fragmentacją.

Przyjęcie zarówno naprężeń wewnętrznych w szkle hartowanym termicznie jako modelu płaskiego/ dwuwymiarowego (2D), jak również paraboliczny rozkład naprężeń w przekroju na grubości szkła t, por. Rys. 2 (a) – pozwala początkową energię odkształcenia U0 zapisać jako:

Liniowo-sprężysty model pękania opiera się zasadniczo na trzech założeniach. Po pierwsze zakłada się, że szklana płyta rozpada się na fragmenty cylindryczne.

Ponadto energia wewnętrzna zmagazynowana w wyniku procesu hartowania termicznego (powodującego powstawanie naprężeń wewnętrznych w szkle) jest przekształcana, powodując wygenerowanie powierzchni spękania (rozdzielonych poszczególnych fragmentów). Charakteryzuje to współczynnik relaksacji (relaxation factor) η (por. rys. 2 (b)):

(2)

Jako trzeci warunek wstępny przyjmuje się, że energia odkształcenia sprężystego w przypadku pęknięcia jest uwalniana przez generowanie nowych powierzchni spękania, inne formy energii, takie jak energia akustyczna lub cieplna, są pomijane.

Intensywność pękania λ jest wartością charakterystyczną dla fragmentacji i oznacza gęstość fragmentów w pewnym obszarze. Dla parametru intensywności pękania λ należy rozróżnić dwa przypadki procesu fragmentacji – deterministyczny (zależny od określonych warunków) i stochastyczny (losowy).

Dla przypadku deterministycznego można przyjąć heksagonalne/sześciokątne ścisłe „upakowanie” danego pakietu (Hexagonal Closed Package HCP) dla punktów w teselacji Woronoja (punkty te są nazywane też początkowymi/zarodkowymi lub generatorami).

Natomiast rozkład stochastyczny punktów początkowych w teselacji Woronoja powoduje generowanie struktur odbiegających od HCP (patrz rys. 3 i następne rozdziały o stochastycznych układach punktowych).

Z równania (2) i rys. 2 wynika, że fragmenty (odłamki szkła) zawierają energię wewnętrzną, a zatem po fragmentacji mogą być powiązane z pozostałymi w promieniu r1. Dalsze szczegóły dotyczące wyprowadzenia wzorów/ równań opisujących mechaniczne właściwości spękań, a w szczególności zależności między intensywnością spękania a parametrami mechanicznymi2 pękania, zostały już opublikowane w innych pracach [12,13,14].

Przestrzenny stochastyczny proces punktowy Φ jest procesem losowym, którego wynikiem jest wzorzec/ rozkład punktowy. Przestrzenny wzorzec punktowy to zbiór pozycji punktów Φ = (x1, .., xN) w obserwacji ℬ. W literaturze znanych jest wiele różnych przestrzennych modeli procesów punktowych, ich przegląd można znaleźć w [18].

Ogólnie rzecz biorąc, istnieją trzy główne kategorie przestrzennych procesów punktowych:
(a) zwykłe/ procesy „twardego rdzenia” (hardcore processes),
(b) jednorodne procesy punktowe Poissona (całkowita losowość przestrzenna – Complete Spatial Randomness CSR),
(c) procesy (analizy) skupień (cluster processes).

W ramach metody BREAK rozważane są trzy specjalne typy przestrzennych wzorców punktowych:
(a) proces jednorodny (homogeneous proces),
(b) proces twardego rdzenia (hardcore proces),
(c) proces Straussa (Strauss proces).

Proces Straussa jest stochastycznym procesem punktowym, który może mapować/odwzorowywać wszystkie typy procesów punktowych za pomocą odpowiedniego doboru jego parametrów, ale w kontekście tej pracy istotny jest tylko proces „twardego rdzenia” Straussa.

Proces twardego rdzenia Straussa (SP) zależy od trzech parametrów: intensywności λ, promienia twardego rdzenia rH (który jest powiązany z pozostałym promieniem r1 z równania (2)) oraz prawdopodobieństwa γ zignorowania promienia twardego rdzenia rHC.

Aby porównać różne procesy punktowe, definiuje się parametr jednorodności α = rH⁄rHCP, który charakteryzuje jednorodność losowo wygenerowanej teselacji 2D Woronoja. Z wartości granicznych wynika, że α = 0 dla HPP i α = 1 dla HCP. Dla wartości parametru jednorodności 0 < α < 1 MHCP i SP odnoszą się do HCP, por. rys. 4.

Teselacja Woronoja jest konstruowana w odniesieniu do procesu punktowego Φ z wzorcami punktowymi (punkty początkowe/zarodkowe / generatory) Φ = {x1,…, xN}. Komórka Woronoja C(x) jest zdefiniowanym zbiorem wszystkich punktów znajdujących się w mniejszej odległości od tego punktu x niż jakikolwiek innego punktu y

(3)

Teselacja Woronoja T(Φ) w odniesieniu do Φ, to zbiór wszystkich komórek Woronoja wygenerowanych przez Φ:

(4)

Jeśli dla komórek Woronoja wybrano normę L2 (p = 2), oznacza to, że komórki Woronoja są wielokątami wypukłymi, por. Rys. 3.

Do szacowania/estymacji parametrów procesu twardego rdzenia Straussa, metoda BREAK wykorzystuje różne metody analizy wzorców punktowych z geometrii stochastycznej. Z jednej strony są to metody wyznaczania statystyk pierwszego rzędu, które m.in. wykorzystują metody szacowania gęstości rdzenia w celu określenia intensywności λ.

Do wyznaczenia parametrów promienia twardego rdzenia rHC i prawdopodobieństwa γ ignorowania promienia twardego rdzenia rHC stosuje się metody statystyk drugiego rzędu zależności przestrzennych, takie jak funkcja L (L – function), dalsze szczegóły dotyczące procesu szacowania i operatorów/ funkcji można znaleźć w [7, 10].

(kliknij na zdjęcie aby je powiększyć)

Rys. 4. Schematyczny rysunek metody BREAK, przedstawiający połączenia obserwacji eksperymentalnych z elementami przestrzennych wzorców punktowych i liniowej mechaniki pękania, z [10,12]

3. Metodologia BREAK i wyniki
Idea BREAK polega na tym, że wzór spękania szkła może być generowany przez teselację Woronoja za pomocą punktów początkowych/zarodkowych, które z kolei są określane przez stochastyczny proces punktowy. Ten stochastyczny proces punktowy i jego parametry wynikają z koncepcji energii w liniowej mechanice pękania.

Metody bayesowskiej (opartej na twierdzeniu Thomasa Bayesa) statystyki punktów przestrzennych są połączone z warunkami energetycznymi, tak aby z danych eksperymentalnych w postaci obrazów/wzorów pęknięć szkła uzyskać parametry wzorca pękania, które prowadzą do wyboru odpowiedniej symulacji i przewidywania wzoru spękania.

Ogólną metodologię z wykorzystanymi teoriami pokazano na rys. 4, konkretną koncepcję i etapy metody BREAK pokazano na rys. 5 (a). Najpierw należy stwierdzić, że dla każdego poziomu zmagazynowanej energii odkształceń w szkle należy skalibrować stochastyczny proces punktowy z wynikającą teselacją Woronoja. W kontekście niniejszej pracy przedstawiono przykładowe postępowanie dla płyty szklanej o grubości t = 12 mm i określonym stopniu naprężenia wstępnego σm = 31,54 MPa (U0 = 8,754 J⁄m³).

Rys. 5. Schemat blokowy metody BREAK (a) i odłamków szkła z obliczonymi centroidami (czerwone krzyżyki) i teselacją Woronoja w polu obserwacyjnym o wymiarach 50 mm x 50 mm (b), z [10,12]

Dla każdego poziomu naprężeń wstępnych przygotowano trzy próbki o tej samej grubości i wykonano uderzenie młotkiem/punktakiem badawczym w ramach tego testu. W celu określenia cech statystycznych struktury pęknięcia, tj. liczby krawędzi odłamków, obwodu pęknięcia, powierzchni pęknięcia itp., tafla pękniętego szkła jest fotografowana i poddawana obróbce morfologicznej.

Obraz wzoru spękania jest następnie oceniany pod kątem statystyk zidentyfikowanych fragmentów. Szczególnie interesująca jest liczba fragmentów na określonej powierzchni, punkty środkowe fragmentów, a także odległości między punktami środkowymi, por. rys. 5 (b).

Parametry procesu twardego rdzenia Straussa są następnie kalibrowane zgodnie z informacjami z obrazów pęknięć. Dalsze statystycznie reprezentatywne wzory pęknięć mogą być zatem symulowane na podstawie skalibrowanego procesu punktowego z późniejszą teselacją Woronoja tego wzoru/wzorca punktowego. Jak już opisano, po morfologicznym przetwarzaniu obrazów pęknięć, w pierwszym etapie określa się statystyki pierwszego rzędu uzyskanego wzoru punktów.

Szacowanie intensywności procesu λ za pomocą jądrowych estymatorów gęstości (por. rys. 6) jest alternatywną metodą ręcznego wyznaczania wielkości, jak pokazano w [4].

(kliknij na zdjęcie aby je powiększyć)

Rys. 6. Oszacowanie intensywności procesu dla próbki jako wykres 3d, z [10,12]

Ponadto zastosowanie metody jądrowej estymacji gęstości pozwala na lepszą rozdzielczość zmienności, a tym samym niepewności w estymacji intensywności procesu. Wykorzystując empiryczną funkcję L, pozostałe dwa parametry procesu punktowego są wyznaczane na podstawie liczby punktów pomiędzy rHC i r1 wykorzystując statystyki drugiego rzędu, por. rys. 7 (b).

Promień r1 jest minimalną odległością środków pęknięć określoną we wzorze pęknięcia. Prawdopodobieństwo γ zignorowania promienia twardego rdzenia rHC jest określone na podstawie liczby odległości centrów/środków fragmentów mniejszych niż rHC (Nr<rHC do całkowitej liczby fragmentów N:γ = Nr<rHC/N).

Po skalibrowaniu parametrów modelu {λ, rHC, γ} na podstawie wykonanych zdjęć wzorów pęknięć, można przeprowadzić symulację statystycznie równoważnych wzorów pęknięć przy użyciu skalibrowanego SP (proces twardego rdzenia Straussa) z wynikającą teselacją Woronoja.

Przykładową realizację SP ze średnimi wartościami parametrów modelu przedstawiono na rys. 8. Dalsze badania jakości statystycznej obrazów pęknięć wytworzonych metodą BREAK można znaleźć w [10, 12].

Rys. 7. Gęstość energii odkształcenia sprężystego UD w zależności od intensywności pękania λ wyznaczona na podstawie testów pękania (a) i fragmentów szkła z obliczonymi centroidami/środkami ciężkości (czerwone krzyżyki) oraz oszacowanie empirycznej funkcji L dla próbki (b), z [10,12]

4. Podsumowanie, wnioski i prognozy
W tym artykule zaprezentowano i zastosowano metodę inspirowaną uczeniem maszynowym o nazwie „BREAK” do symulacji wzorów spękania szkła.

Idea „BREAK” polega na tym, że wzór spękania szkła można oszacować za pomocą teselacji Woronoja wykorzystującej punkty początkowe/ zarodkowe generowane przez stochastyczny proces punktowy, który jest zainspirowany koncepcją energii z mechaniki pękania.

(kliknij na zdjęcie aby je powiększyć)

Rys. 8. Symulacja realizacji schematu pękania tafli szkła o grubości t = 12 mm i poziomie naprężenia wstępnego σm = 31,54 MPa z kalibrowanym SP, z [10]

Wykazano, że parametry metody mogą być kalibrowane do rzeczywistych pęknięć szkła hartowanego termicznie (ze wstępnie wprowadzonymi naprężeniami) i możliwa jest symulacja statystycznie reprezentatywnych pęknięć dla tego poziomu naprężeń termicznych przy odpowiedniej grubości warstwy szkła.

Dla zastosowanego w tym artykule szkła hartowanego termicznie parametry dla stochastycznych procesów punktowych uzyskano nie tylko jako oszacowania punktowe, ale także z ich rozkładami empirycznymi.

W ten sposób możliwy jest dalszy wgląd (zwłaszcza w źródła niepewności) do podejścia do modelowania i zachowania modelu. Stwierdzono, że szkło o grubości 12 mm i naprężeniu wstępnym σm = 31,54 daje regularność spękań α = 0,55.

Ponadto symulacja reprezentatywnych wzorów pęknięć przez skalibrowany SP (Proces twardego rdzenia Straussa) może być z powodzeniem weryfikowana/ porównana ze statystykami wzorów pęknięć.

Innym elementem do poprawy proponowanej metody „BREAK” jest to, że do tej pory odległość euklidesowa (norma L2) do definiowania teselacji Voronoi była używana w ramach BREAK. Pierwsze symulacje z innymi normami niż L2 wyglądają obiecująco, jeśli chodzi o uchwycenie nieprostych granic pęknięć. 

Artykuł został oparty na wykładzie zaprezentowanym na Konferencji GLASS PERFORMANCE DAYS 2019, która odbyła się w dniach 26-28 czerwca 2019 r. Tampere w Finlandii

Michael A. Kraus, Navid Pourmoghaddam, Jens Schneider, Gerald Siebert

Bibliografia
[1] A. A. Griffith, „Zjawiska pękania i płynięcia w ciałach stałych (The Phenomena of Rupture and Flow in Solids)“, Philos. Trans. R. Soc. London, Bd. 221, Nr. 1921, S. 163–198, 1920.

[2] K. Akeyoshi und E. Kanai, „Właściwości mechaniczne szkła hartowanego (Mechanical Properties of Tempered Glass)“, VII int. congr. Og Glas., Nr. paper 80, 1965.

[3] E. Mognato, S. Brocca, und A. Barbieri, „Szkło obrabiane termicznie: korelacja między ściskaniem powierzchniowym, testem mechanicznym i fragmentacją (Thermally Processed Glass : Correlation Between Surface Compression, Mechanical and Fragmentation Test)“, in Glass Performance Days 2017, 2017, S. 8–11.

[4] N. Pourmoghaddam und J. Schneider, „Eksperymentalne badanie wielkości fragmentów szkła hartowanego (Experimental investigation into the fragment size of tempered glass)“, Glas. Struct. Eng., Bd. 3, Nr. 2, S. 167–181, 2018.

[5] P. D. Warren, „Fragmentacja szkła wzmocnionego termicznie (Fragmentation of Thermally Strengthened Glass)“, Fractography Glas. Ceram. IV, Bd. 12, S. 389–400, 2001.

[6] R. Tandon und S. J. Glass, Mechanika pękania ceramiki; Materiały aktywne, materiały w nanoskali, kompozyty, szkło i podstawy (Fracture Mechanics of Ceramics; Active Materials, Nanoscale Materials, Composites, Glass, and Fundamentals), Vol. 14. Houston: Springer, pp. 77-92, 2005.

[7] Baddeley, A.; Rubak, E.; Turner, R.: Przestrzenne wzorce punktowe: metodologia i zastosowania (Spatial point patterns: methodology and applications) R. CRC Press, 2016

[8] Pourmoghaddam, N., Kraus, M., Schneider, J., & Siebert, G. (2018). Własności geometryczne losowych teselacji 2D Woronoja do przewidywania wzoru pęknięcia szkła hartowanego (The geometrical properties of random 2D Voronoi tessellations for the prediction of the tempered glass fracture pattern). Engineered Transparency at Glastec 2018

[9] Pourmoghaddam, N., Kraus, M., Schneider, J., & Siebert, G. (2018). Przewidywanie fragmentacji szkła hartowanego w 2D w makroskali z wykorzystaniem losowych teselacji Woronoja (Prediction of the 2D macro-scale fragmentation of tempered glass using random Voronoi tessellations). Baustatik-Baupraxis e.V., Forschungskolloquium 2018, Grasellenbach, 56 - 59

[10] M. A. Kraus: Techniki uczenia maszynowego do identyfikacji parametrów materiałowych szkła laminowanego w stanie nienaruszonym i po złamaniu (Machine Learning Techniques for the Material Parameter Identification of Laminated Glass in the Intact and Post-Fracture State) [Dissertation], Munchen, Universitat der Bundeswehr Munchen, 2018

[11] Pourmoghaddam, N., Kraus, M. A., Schneider, J., & Siebert, G.: Związek między energią odkształcenia a morfologią wzoru pękania szkła hartowanego termicznie do przewidywania dwuwymiarowej fragmentacji szkła w makroskali (Relationship between strain energy and fracture pattern morphology of thermally tempered glass for the prediction of the 2D macroscalefragmentation of glass), Glass Structures & Engineering, 2018, https://doi.org/10.1007/s40940-018-00091-1

[12] Kraus, M., Pourmoghaddam, N., Schneider, J., & Siebert, G.: Bayesowska rekonstrukcja i przewidywanie wzorców pękania szkła BREAK (Bayesian Reconstruction and Prediction of Glass Breakage Patterns BREAK), Glass Structures & Engineering, submitted for review

Całość artykułu w wydaniu drukowanym i elektronicznym 

Inne artykuły o podobnej tematyce patrz Serwisy Tematyczne 
Więcej informacji:  Świat Szkła 10/2021